Тривиальное линейное пространство. Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Пусть L и M - два подпространства пространства R .

Cуммой L +M называется множество векторов x+y , где x ∈L и y ∈M . Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M , следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R ).

Пересечением L ∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M . Пусть G g -мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G ⊂L и G ⊂M , следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M . Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M . Покажем, что векторы

принадлежит подпространству G=L∩M . С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G :

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y , где x∈L, y∈M . В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y - линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F . Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M .

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m . Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

2 .Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Вектор Х ≠ 0 называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое числоl, что АХ =lХ.

При этом число lназываютсобственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - lЕ)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными . Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - lЕ| = = 0

Это уравнение с неизвестным lназываютхарактеристическим уравнением (характеристическим многочленом ) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - lЕ| = = (1 -l) 2 – 36 = 1 – 2l+l 2 - 36 =l 2 – 2l- 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значенияl 1 = (2 - 12)/2 = -5;l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с, х 1 + (2/3)с = 0; х 1 = -(2/3)с, т.е. Х (1) = (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с 1 , х 1 - (2/3)с 1 = 0; х 1 = (2/3)с 1 , т.е. Х (2) = ((2/3)с 1 ; с 1).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с 1 ; с 1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где l i – собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с 1 , но такие, чтобы векторы Х (1) и Х (2) были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с 1 = 3, тогда Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3). Убедимся в линейной независимости этих векторов:

12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А * = .

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А * = С -1 АС. Вначале найдем С -1 .

С -1 = ;

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11

1. Переход к новому базсу в линейном пространстве. Матрица перехода.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Переход к новому базису

Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый e l , e 2 ,...e n и новый e l * , e 2 * ,...e n * . Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода

Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.

Матрица А - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А -1 .

Пусть вектор Х имеет координаты (х l , х 2 ,... х n) относительно старого базиса и координаты (х l * , х 2 * ,... х n *) относительно нового базиса, т.е. Х = x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * +...+ x n * e n * .

Подставим в это уравнение значения e l * , e 2 * ,...e n * из предыдущей системы:

x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + … + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + … + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)

0 = e l (x l * a 11 + x 2 * a 21 + … + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + … + x n * a n2 – x 2) + + … + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + … + x n * a nn – x n)

В силу линейной независимости векторов e l , e 2 ,...e n все коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:

или в матричной форме

Умножим обе части на А -1 , получим:

Например, пусть в базисе e l , e 2 , e 3 заданы вектора а 1 = (1, 1, 0), а 2 = (1, -1, 1), а 3 = (-3, 5, -6) иb= (4; -4; 5). Показать, что вектора а l , а 2 , а 3 тоже образуют базис и выразить в этом базисе векторb.

Покажем, что вектора а l , а 2 , а 3 линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:

Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами e l , e 2 , e 3 и а l , а 2 , а 3 можно выразить системой:

Вычислим А -1 .

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. в базисе а l , а 2 , а 3 векторb= (0,5; 2; -0,5).

2 Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva

Пусть и - подпространства линейного пространства .

Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.

Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается

Представление вектора в виде , где , называетсяразложением вектора no подпространствам и .

Замечания 8.8

1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.

2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.

Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и принадлежат сумме , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:

Найдем сумму: . Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: . Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, - линейное подпространство.

3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении - можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

4. Минимальным линейным подпространством , содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , называется пересечение всех подпространств , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если - линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: ).

Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства является минимальным линейным подпространством, содержащим , т.е. .

Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть - любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор . Поэтому вектор принадлежит любому подпространству , содержащему . Значит, принадлежит пересечению таких подпространств. Таким образом, . Из двух включений и следует равенство .

5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).

7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:

Первая сумма - это некоторый вектор , вторая сумма - это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана ):

В самом деле, пусть - базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:

Первые две суммы обозначим - это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим - это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем. Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:

что и требовалось доказать.

Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке заданы подпространства: и - три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке прямым и соответственно; и - два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.

Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а - множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .

Найдем сумму . Любой вектор пространства можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора проводим прямую, параллельную прямой (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на плоскость . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .

Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя и в формулу Грассмана, получаем , что и следовало ожидать, так как .

Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:

где - нулевой радиус-вектор .

Пряма сума підпросторів. Критерії прямої суми.

Линейным пространством называется множество L , в котором определены операции сложения и умножения на число, т.е. для каждой пары элементов a,b L существует некоторый c L , который называется их суммой, и для любого элемента a L и любого числа R существует b L называемый произведением  на a . Элементы линейного пространства называются векторами . Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам.

Аксиомы сложения:  a, b, c  L

a+b = b+a – коммутативность

(a+b) + c = a + (b+c) – ассоциативность

В пространстве существует такой элемент, который называется нуль-вектор и обозначается 0 , который в сумме с любым a из L дает этот же элемент a, т.е.  0L :  aL 0 + a = a .

Для всякого a из L существует противоположный элемент , обозначаемый -a , такой что (-a) + a = 0

( aL  (-a)L : (-a) + a = 0)

Следствия из аксиом сложения:

1. Нуль-вектор единственен, т.е. если хотя бы для одного aL справед­ливо, что b + a = a , то b = 0 .

2. Для любого вектора a L противоположный элемент единственен, т.е. b + a = 0  b = (-a)

Аксиомы умножения:  ,  R  a, b  L

 (a ) = () a

(a+b) = a + b – дистрибутивность (по векторам)

(+)a = a + a – дистрибутивность (по числам)

1a = a

Следствия из аксиом умножения:  a  L    R

 0 = 0

0 a = 0

(-a ) = (-1) a
^

2.1 Примеры линейных пространств

1. Пространство K n столбцов высоты n. Элементами этого пространства являются столбцы, содержащие n вещественных чисел, с операциями покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на число. Нуль-вектором в таком пространстве является столбец, состоящий из n нулей.

2. Обычные векторы в трехмерном пространстве R 3 с операциями сложения “по правилу параллелограмма” и умножением-растяжением. Предполагается, что начала всех векторов находятся в начале координат, нуль-вектор  это вектор, который и заканчивается в начале координат

3. Многочленом степени n от одной переменной 1 называется функция

P n (x ) =  n x +  n-1 x n n-1 + … +  1 x +  0 причем  n  0

Множество многочленов, степени не выше n, с обычными операциями сложения и умножения на число, образуют линейное пространство. Отметим, что множество многочленов, степени n, линейного пространства не образуют. Дело в том, что сумма двух многочленов степени, например, 3 может оказаться многочленом степени 2 (например, (x 3 + 3) + (– x 3 – 2x 2 + 7) = – 2x 2 + 10 – многочлен степени 2). Однако, операция сложения многочленов может понизить степень, но не повысить ее, поэтому множество многочленов, степени не выше n, замкнуто относительно сложения (т.е. сумма двух многочленов, степени не выше n, – всегда многочлен, степени не выше n) и образует линейное пространство.
^

2.2 Размерность, базис, координаты.

Линейной комбинацией векторов {e 1 , e 2 , …e n }  называется выражение  1 e 1 +  2 e 2 + …  n e n = Таким образом, линейная комбинация - это просто сумма векторов с числовыми коэффициентами. Если все коэффициенты  i равны 0, линейная комбинация называется тривиальной .

Система 2 векторов называется линейно зависимой , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0 . Другими словами, если существуют такие n чисел  R, что не все они равны нулю, и линейная комбинация векторов с коэффициентами равна нуль-вектору:

В противном случае векторы называются линейно независимыми . Другими словами – векторы называются линейно независимыми , если
из  1 e 1 +  2 e 2 + …+  n e n = 0 следует  1 =  2 = …=  n = 0 , т.е. если любая линейная комбинация этих векторов, равная нуль-вектору, является тривиальной.

Разложением вектора a по системе векторов {e i } называется представле­ние a в виде линейной комбинации векторов {e i }. Другими словами, разложить вектор a по векторам {e i } означает найти такие числа  i , чтобы

a =  1 e 1 +  2 e 2 + …  k e k

Заметим, что определению независимости векторов можно придать такую форму: векторы независимы, тогда и только тогда, когда разложение 0 по ним единственно.

Линейное пространство называется конечномерным , если существует такое целое n, что все независимые системы векторов в этом пространстве содержат не более n элементов.

Размерностью конечномерного линейного пространства L называется максимально возможное число линейно независимых векторов (обозначается dimL или dim L ). Другими словами, линейное пространство называется n–мерным , если:

1. в пространстве существует независимая система, состоящая из n векторов;

2. любая система, состоящая из n +1 вектора, линейно зависима.

Базисом линейного пространства L n называется любая независимая система векторов , число элементов которой равно размерности пространства.

Теорема 1. Всякую независимую систему векторов можно дополнить до базиса. Т.е., если система L k независима и содержит векторов меньше, чем размерность пространства (n  L k , что объединенная совокупность векторов {e 1 ,e 2 ,…e n , f 1 ,f 2 ,…f k-n } независима, содержит k векторов и, следовательно, образует базис L k . ▄ Таким образом, во всяком линейном пространстве есть много (на самом деле – бесконечно много) базисов.

Система векторов называется полной , если любой a L можно разложить по векторам системы (возможно разложение не единственно).

Напротив, разложение любого вектора по независимой системе всегда единственно (но не всегда существует). Т.е.

Теорема 2 Разложение любого вектора по базису линейного пространства всегда существует и единственно. То есть, базис является независимой и полной системой. Коэффициенты  i разложения вектора по базису {e i } называются координатами вектора в базисе {e i }.▄

Все координаты нуль-вектора равны 0 в любом базисе.

2.3 Примеры

1. Пространство R 3 – известное из школьного курса трехмерное прост­ранство векторов-“направленных отрезков” с обычными операциями сложе­ния “по правилу параллелограмма” и умножения на число. Стандартный базис образуют три взаимно перпендикулярных вектора, направленных по трем осям координат; их обозначают буквами i , j и k .

2. Пространство K n столбцов высоты n имеет размерность n. Стандарт­ный базис в пространстве столбцов образуют векторы – это столбцы, у которых на i–ой позиции стоят единицы, а остальные элементы нули:

Действительно, легко видеть, что любой столбец раскладывается по сис­теме векторов единствен­ным образом, а именно: , т.е., коэффициенты разложения по для любого столбца просто равны соответствующим элементам этого столбца.

3. Пространство многочленов, степени не выше n, имеет размерность n+1. Стандартный базис в этом пространстве:

{}. В самом деле, из определения многочлена степени n очевидно, что любой многочлен, степени не выше n, однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов , причем коэффициентами линейной комбинации являются просто коэффициенты многочлена (если степень многочлена k меньше n, то последние n-k коэффициентов равны 0).
^

2.4 Изоморфизм линейных пространств

Пусть базис в L n . Тогда каждому a L n взаимно однозначно соответствует набор из n чисел – координат вектора a в базисе . Следовательно, каждому a L n можно взаимно однозначно сопоставить вектор из пространства столбцов K n – столбец , который образуется из координат вектора a . При так определенном соответствии базису будет сопоставлен стандартный базис из K n . 4

Легко проверить, что суммирование векторов в L n приводит к суммированию соответствующих координат в базисе ; значит сумме векторов в L n отвечает при нашем соответствии сумма соответствующих столбцов в K n ; аналогичное правило имеет место и для умножения на число.

Взаимно однозначное соответствие между элементами двух пространств с сохранением введенных в этих пространствах операций называется изоморфизм . Изоморфизм, как и равенство, свойство транзитивное (переходное): если пространство L n изоморфно K n , а пространство K n изоморфно некоторому пространству M n , то и L n изоморфно M n .

Теорема 3. Всякое линейное пространство размерности n изоморфно K n, следовательно, в силу транзитивности, все линейные пространства размерности n изоморфны друг другу. ▄

Изоморфные объекты с точки зрения математики являются в сущности только разными “воплощениями” (реализациями) одного объекта, и любой факт, доказанный для некоторого пространства, справедлив и для любого другого пространства, изоморфного первому.

2.5 Подпространства

Подпространством пространства L называется подмножество M L , замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. x,y

M 

Очевидно, 0 M , если M – подпространство L , т.е., нуль-вектор принадлежит любому подпространству 5 .

Каждое подпространство линейного пространства само является линейным пространством. Множество {0 } является подпространством (все аксиомы линейного пространства выполнены, если пространство состоит из единственного элемента – нуль-вектора) 6 .

Каждое линейное пространство содержит два тривиальных подпространства: само пространство и нулевое подпространство {0 }; прочие подпространства называются нетривиальными .

Пересечение двух подпространств является подпространством. Объединение двух подпространств подпространством, вообще говоря, не является, например, объединение двух прямых, проходящих через начало координат, не содержит суммы векторов, принадлежащих разным прямым (такая сумма лежит между прямыми) 7 .

Пусть , n L k . Тогда множество всех линейных комбинаций этих векторов, т.е. множество всех векторов вида

a =  1 f 1 +  2 f 2 + …  n f n

Образует n-мерное подпространство G {f 1 , f 2 ,…f n }, которое называется линейной оболочкой векторов {f 1 , f 2 ,…f n }.

Теорема 4. Базис любого подпространства может быть дополнен до базиса всего пространства. Т.е. пусть M n L k подпространство, размерности n – базис в M n . Тогда в L k существует такой набор векторов  L k , что система векторов {f 1 ,f 2 …f n , g 1 , g 2 , …g k-n } 8 линейно независима и содержит k элементов, следовательно, образует базис. ▄
^

2.6 Примеры подпространств.

1. В R 3 всякая плоскость, проходящая через начало координат, образует двумерное подпространство, а всякая прямая, проходящая через начало координат, образует одномерное подпространство (плоскости и прямые, не содержащие 0 , подпространствами быть не могут), и других подпространств в R 3 нет.

2. В пространстве столбцов K 3 столбцы вида , т.е. столбцы, у которых третья координата равна 0, образуют подпространство, очевидно изоморфное пространству K 2 столбцов, высоты 2.

3. В пространстве P n многочленов, степени не выше n, многочлены, степени не выше 2-х, образуют трехмерное подпространство (у них по три коэффициента).

4. В трехмерном пространстве P 2 многочленов, степени не выше 2, многочлены, обращающиеся в 0 в заданной точке х 0 , образуют двумерное подпространство (докажите!).

5. Задача. В пространстве K 4 множество М состоит из столбцов, координаты которых удовлетворяют условию: 1 2 2 + 3 =0 (*). Докажите, что М трехмерное подпространство K 4 .

Решение . Докажем, что М подпространство. Действительно, пусть аМ , bМ , значит, а 1 2а 2 + а 3 =0, b 1 2b 2 + b 3 =0. Но по правилу сложения векторов (а + b ) i = а i + b i . Отсюда следует, что если для векторов а и b условие (*) выполнено, то и для а + b это условие выполнено. Так же ясно, что если для столбца а условие (*) выполнено, то оно выполнено и для столбца а. И, наконец, нуль-вектор множеству М принадлежит. Таким образом доказано, что М подпространство. Докажем, что оно трехмерно. Отметим что любой вектор аМ в силу условия (*) имеет координаты (**). Пусть m 1 = , m 2 = , a h 4 = . Покажем, что система векторов {m 1 ,m 2 ,h 4 } образует базис в М . Составим линейную комбинацию 1 m 1 + 2 m 2 + h 4 = с произвольными коэффициентами. Очевидно, что любой вектор а из М (см. (**)) раскладывается по набору {m 1 ,m 2 , h 4 }; для этого достаточно выбрать в качестве коэффициентов разложения координаты вектора 1 = а 1 , 2 = а 2 , 4 = а 4 .В частности, единственной линейной комбинацией векторов m 1 ,m 2 , h 4 , равной нуль-вектору, является комбинация с нулевыми коэффициентами: 1 = 0, 2 = 0, 4 = 0. Из единственности разложения нуль-вектора следует, что {m 1 ,m 2 , h 4 } независимая система векторов. А из того факта, что всякий аМ раскладывается по системе {m 1 ,m 2 , h 4 } , следует, что эта система полная. Полная и независимая система образует базис в подпространстве М . Так как этот базис содержит три вектора, то М трехмерное подпространство.

Определение. Линейным пространством над числовым полем К называется множество R элементов, которые будем называть векторами и обозначать ,,и так далее, если:

Из этих аксиом следует, что:

Линейные оболочки

Определение. Линейной оболочкой семейства векторов называется множество их всевозможных линейных комбинаций в линейном пространстве L .

Легко проверить, что линейная оболочка является линейным пространством в L .

Линейную оболочку также называют подпространством, натянутым на векторыили порожденным векторами семействаЕе можно определить еще как пересечение всех подпространств вL , содержащих все Рангом семейства векторов называется размерность его линейной оболочки.

Первое характеристическое свойство базиса: его линейная оболочка совпадает со всем L .

Подпространства

Определение. Линейное подпространство или векторное подпространство – это непустое множество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространство обозначают как Lat ( L ) . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

В частности, пространство, состоящее из одного элемента является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называютсобственными или нетривиальными.

Свойства подпространств

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Линейная зависимость векторов

Определение. Семейство векторов называется линейнонезависимым , если никакая нетривиальная линейная комбинация не равна нулю, то есть из

следует, что все = 0. В противном случае оно называется линейнозависимым . Линейная независимость семейства означает, чтонулевой вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации элементов семейства. Тогда любой другой вектор имеет либо единственной представление, либо ни одного. Действительно, сравнивая два представления

Отсюда следует второе характеристическое свойство базиса: его элементы линейно независимы. Определение этих двух свойств равносильно первоначальному определению базиса.

Заметим, что семейство векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда оно образует базис своей линейной оболочки.

Семейство заведомо линейно зависимо, если среди векторовесть нулевой или два одинаковых.

Лемма 1. Семейство векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторовявляется линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

Если и

Наоборот, если , то

Лемма 2. линейно зависимо, то является линейной комбинацией.

Доказательство.

Если не всеравны, то обязательно, иначе мы получили бы нетривиальную зависимость междуПоэтому

Линейным (векторным) пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам \mathbf{u} и {\mathbf{v}} поставлен в соответствие вектор \mathbf{u}+\mathbf{v} , называемый суммой векторов \mathbf{u} и {\mathbf{v}} , любому вектору {\mathbf{v}} и любому числу \lambda из поля действительных чисел \mathbb{R} поставлен в соответствие вектор \lambda \mathbf{v} , называемый произведением вектора \mathbf{v} на число \lambda ; так что выполняются следующие условия:

1. \mathbf{u}+ \mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V (коммутативность сложения);
2. \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент \mathbf{o}\in V , называемый нулевым вектором, что \mathbf{v}+\mathbf{o}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V ;
4. для каждого вектора {\mathbf{v}} существует такой вектор , называемый противоположным вектору \mathbf{v} , что \mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{o} ;
5. \lambda(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\lambda \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V,~\forall \lambda\in \mathbb{R} ;
6. (\lambda+\mu)\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
7. \lambda(\mu \mathbf{v})=(\lambda\mu)\mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
8. 1\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества V , такие векторы называются равными.

В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля \mathbb{R} действительных чисел взять поле комплексных чисел \mathbb{C} , то получим линейное пространство над полем комплексных чисел , или, короче, комплексное линейное пространство . В качестве числового поля можно выбрать и поле \mathbb{Q} рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже - линейные.

Замечания 8.1

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство - это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

5. Разностью векторов \mathbf{u} и \mathbf{v} называется сумма вектора \mathbf{u} с противоположным вектором (-\mathbf{v}) и обозначается: \mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v}) .

6. Два ненулевых вектора \mathbf{u} и \mathbf{v} называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число \lambda , что \mathbf{v}=\lambda \mathbf{u} . Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор \mathbf{o} считается коллинеарным с любым вектором.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В линейном пространстве для любого вектора \mathbf{v}\in V существует единственный противоположный вектор (-\mathbf{v})\in V .

3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. 0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{o}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е для любого числа \lambda .

5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. (-\mathbf{v})=(-1)\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

6. В выражениях вида \mathbf{a+b+\ldots+z} (сумма конечного числа векторов) или \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf{v} (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если \mathbf{o} и \mathbf{o}" - два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: \mathbf{o}"+\mathbf{o}=\mathbf{o}" или \mathbf{o}+\mathbf{o}"=\mathbf{o} , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. \mathbf{o}=\mathbf{o}" . Единственность противоположного вектора. Если вектор \mathbf{v}\in V имеет два противоположных вектора (-\mathbf{v}) и (-\mathbf{v})" , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:

(-\mathbf{v})"=(-\mathbf{v})"+\underbrace{\mathbf{v}+(-\mathbf{v})}_{\mathbf{o}}= \underbrace{(-\mathbf{v})"+\mathbf{v}}_{\mathbf{o}}+(-\mathbf{v})=(-\mathbf{v}).

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

1. Обозначим \{\mathbf{o}\} - множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями \mathbf{o}+ \mathbf{o}=\mathbf{o} и \lambda \mathbf{o}=\mathbf{o} . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество \{\mathbf{o}\} является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим V_1,\,V_2,\,V_3 - множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества V_1,\,V_2,\,V_3 являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма \mathbf{v}+\mathbf{v} не принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим \mathbb{R}^n - множество матриц-столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец o=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\end{pmatrix}^T . Следовательно, множество \mathbb{R}^n является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество \mathbb{C}^n столбцов размеров n\times1 с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

4. Обозначим \{Ax=o\} - множество решений однородной системы Ax=o линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где A - действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве \{Ax=o\} . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству \{Ax=o\} . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество \{Ax=b\} решений неоднородной системы Ax=b,~b\ne o , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента (x=o не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим M_{m\times n} - множество матриц размеров m\times n с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица O соответствующих размеров. Следовательно, множество M_{m\times n} является линейным пространством.

6. Обозначим P(\mathbb{C}) - множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество P(\mathbb{C}) является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество P(\mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество P_n(\mathbb{R}) многочленов степени не выше, чем n , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени n не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим C(\mathbb{R}) - множество действительных функций, определенных и непрерывных на \mathbb{R} . Сумма (f+g) функций f,g и произведение \lambda f функции f на действительное число \lambda определяются равенствами:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) для всех x\in \mathbb{R}

Эти операции действительно определены на C(\mathbb{R}) , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами C(\mathbb{R}) . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства f(x)+g(x)=g(x)+f(x) для любого x\in \mathbb{R} . По этому f+g=g+f , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция o(x) , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции f выполняется равенство f(x)+o(x)=f(x) , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора f будет функция (-f)(x)=-f(x) . Тогда f+(-f)=o (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 - из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: 1\cdot f(x)=f(x) для любого x\in \mathbb{R} , т.е. 1\cdot f=f . Таким образом, рассматриваемое множество C(\mathbb{R}) с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что C^1(\mathbb{R}),C^2(\mathbb{R}), \ldots, C^m(\mathbb{R}) - множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго.и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим - множество тригонометрических двучленов (часто ты \omega\ne0 ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t , где a\in \mathbb{R},~b\in \mathbb{R} . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как T_{\omega}(\mathbb{R})\subset C(\mathbb{R}) ). Поэтому множество T_{\omega}(\mathbb{R}) с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t , тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на \mathbb{R} , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим \mathbb{R}^X - множество действительных функций, определенных на множестве X , с операциями:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество X может быть выбрано произвольно. В частности, если X=\{1,2,\ldots,n\} , то f(X) - упорядоченный набор чисел f_1,f_2,\ldots,f_n , где f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров n\times1 , т.е. множество \mathbb{R}^{\{1,2,\ldots,n\}} совпадает с множеством \mathbb{R}^n (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если X=\mathbb{N} (напомним, что \mathbb{N} - множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство \mathbb{R}^{\mathbb{N}} - множество числовых последовательностей \{f(i)\}_{i=1}^{\infty} . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

9. Обозначим \mathbb{R}^{+} - множество положительных действительных чисел, в котором сумма a\oplus b и произведение \lambda\ast a (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^{\lambda} , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число - как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве \mathbb{R}^{+} , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как a\oplus1=a\cdot1=a , т.е. o=1 . Противоположным для a вектором является вектор \frac{1}{a} , который определен, так как a\ne o . В самом деле, a\oplus\frac{1}{a}=a\cdot\frac{1}{a}=1=o . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:

\begin{gathered} \mathsf{5)}\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^{\lambda}= a^{\lambda}\cdot b^{\lambda}= \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf{6)}\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^{\lambda+\mu}=a^{\lambda}\cdot a^{\mu}=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{7)} \quad \lambda\ast(\mu\ast a)=(a^{\mu})^{\lambda}=a^{\lambda\mu}=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{8)}\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end{gathered}

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть V - вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на V линейных скалярных функций, т.е. функций f\colon V\to \mathbb{R} , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:

f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V (аддитивность);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R} (однородность).

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма f+g и произведение \lambda\cdot f определяются равенствами:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R}.

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве V , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству V и обозначается V^{\ast} . Его элементы называют ковекторами.

Например, множество линейных форм n переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству \mathbb{R}^n .

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.