Характеристический и минимальный многочлен. Характеристический многочлен матрицы Характеристический многочлен представляет собой определитель

Продолжим изучение линейных операторов. Нам уже известно, что с каждым оператором A связана квадратная матрица , с которой, в свою очередь, связан ее определитель . Значение определителя есть скаляр (число). Следовательно, является функцией, ставящей в соответствие оператору A скаляр. Поэтому изучение свойств определителя может упростить исследование свойств оператора.

Определение .Скаляр l называется собственным числом (собственным значением), а ненулевой вектор x – собственным вектором линейного оператора A, действующего в n -мерном векторном пространстве L , если

Рассматривая как вектор , любой вектор , , коллинеарный x, будет собственным вектором с собственным числом l . Если собственному значению l соответствует два вектора, x и y , то собственным вектором будет и любой ненулевой вектор вида . Поскольку 0-вектор не является собственным, то множество M всех собственных векторов оператора A не является подпространством. Если же M дополнить 0-вектором, то M станет подпространством. Кратностью собственного значения l называется размерность подпространства M ; собственное значение l называется простым , если его кратность равна 1.

Упражнение. Найти все собственные числа и векторы операторов нулевого - О и тождественного – E. Определить их кратность, если линейный оператор действует в n -мерном линейном пространстве.

Теорема VI.1. Семейство собственных векторов оператора A, соответствующих аналогичному семейству собственных значений , , линейно независимо.

Доказательство . Применим метод математической индукции. При теорема верна по определению собственного вектора, как отличного от нулевого.

Пусть при любом , например, при , теорема верна, но неверна при . Тогда, если система векторов , , …, , будет линейно зависимой, то есть существуют числа , , не все равные 0, например, , что выполняется

Применяя к ней линейный оператор A, с учетом (VI.5), получим,

Умножая (VI.6) на и вычитая из (VI.7), будем иметь

Полученная линейная комбинация в силу индуктивного предположения линейно независима, то есть все коэффициенты при равны 0, в том числе и ,но, по предположению, , тогда , но тогда , что невозможно, по условию теоремы. ▼

Следствие. Линейный оператор, действующий в n -мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n попарно различных собственных значений.

Из определения собственного вектора линейного оператора следует, что образ и прообраз x – коллинеарны. Это означает, что не каждый линейный оператор, действующий в линейном пространстве над полем действительных чисел, имеет хотя бы один собственный вектор. Например, при любом повороте осей на угол, не кратный p , мы не получим коллинеарных векторов.

Перейдем к выводу уравнения, которому удовлетворяют все собственные векторы.

Пусть линейный оператор действует в n -мерном действительном линейном пространстве L и пусть , , некоторый базис, наконец – матрица оператора A в этом базисе. Линейный оператор является вырожденным тогда и только тогда, когда будет вырождена его матрица , то есть . Отсюда заключаем, что кратность l совпадает с дефектом линейного оператора .

Заметим, что, если B любой обратимый оператор, то можно показать , что

то есть тогда и только тогда, когда , где . Это означает, что все спектральные понятия (спектр, собственные значения, кратность, размерность и т.д.) инвариантны относительно замены A на подобный оператор . Учитывая что, по определению, определитель – это многочлен своих элементов, получаем

где коэффициенты являются функциями элементов определителя (или матрицы) и не зависят от l . Максимальная степень l входит лишь в один член определителя, составленного из произведения его элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому . Таким образом, получаем многочлен

Раскрывая определитель, имеем

который называется характеристическим многочленом оператора A в вещественном линейном пространстве L .

Для того, чтобы число было собственным значением оператора A необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло уравнению , то есть, было бы корнем характеристического многочлена.

Пример VI.6. Является ли совпадение характеристических многочленов признаком равенства операторов?

Решение . Нет, не является, поскольку характеристический многочлен один и тот же для семейства подобных матриц. В самом деле, линейные операторы совпадают, если совпадают их матрицы. Рассмотрим два базиса и . Пусть оператор A, имеет в базисе матрицу , а в базисе – . Тогда эти матрицы подобны, то есть , где Q – некоторая невырожденная матрица. Для любого , учитывая, что , имеем

Определение

Для данной матрицы , , где Е - единичная матрица , является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.

Связанные определения

Свойства

Ссылки

В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра . - Ивановский государственный энергетический университет.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Характеристический многочлен матрицы" в других словарях:

В математике характеристический многочлен может означать: характеристический многочлен матрицы характеристический многочлен линейной рекуррентной последовательности характеристический многочлен обыкновенного дифференциального уравнения.… … Википедия

Матрицы над полем К многочлен над полем К Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b1 равен следу матрицы.(b1 = tr A = a11+ а 22+ .. . +а пп), коэффициент b т равен сумме всех главных миноров т гопорядка, в частности bn=detA … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Минимальный многочлен. Минимальный многочлен матрицы аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени. Свойства Минимальный многочлен делит характеристический многочлен матрицы… … Википедия

Основная статья: Функции от матриц Лямбда матрица (λ матрица, матрица многочленов) квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом … Википедия

Совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы … Математическая энциклопедия

Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что: Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных… … Википедия

Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Теорема Гамильтона Кэли известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если … Википедия

Пусть А - квадратная действительная или комплексная матрица n-го порядка. Матрицу

с переменной Л, принимающей любые числовые значения, называют характеристической матрицей матрицы А. Ее определитель

представляет собой многочлен от переменной Л степени п. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А.

То, что характеристический многочлен на самом деле является многочленом от переменной Л, непосредственно вытекает из определения определителя. Наивысшую степень, равную п, среди всех слагаемых определителя А - Е имеет произведение

Остальные слагаемые определителя не содержат по крайней мере двух элементов матрицы А - А Е с переменным Л и потому имеют степень не выше п - 2. Поэтому степень многочлена равна п. Отметим, что произведение (5.9) определяет не только степень характеристического многочлена, но и два его слагаемых со старшими степенями

Свободный член характеристического многочлена совпадает с его значением при Л = 0 и равен |А - А Е = |Л|, т.е. определителю матрицы А.

Итак характеристический многочлен матрицы А порядка п имеет вид (см. , с.83 и , с.55):

где Pk - сумма главных миноров А>го порядка матрицы А, в частности, Pi = ац +«22 + - - +ftnn - сумма элементов главной диагонали матрицы А, называемая следом этой матрицы и обозначаемая через Sp А, р п - определитель |Л| матрицы А.

Корни характеристического многочлена |А - ХЕ называют характеристическими корнями или характеристическими числами матрицы А. Кратность к г характеристического корня А* в характеристическом многочлене называют алгебраической кратностью этого корня. Множество всех характеристических корней матрицы, в котором каждый характеристический корень повторяется столько раз, какова его кратность, называют спектром матрицы А. Если все характеристические корни матрицы простые (т.е. имеют единичную кратность), то спектр матрицы называют простым.

В соответствии с формулами Виета коэффициенты характеристического многочлена связаны с характеристическими корнями следующим образом:

Из этих формул, в частности, вытекают часто применяемые соотношения

Согласно последнему равенству характеристический многочлен матрицы имеет нулевые характеристические корни тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е. когда матрица вырожденная.

Пример 5.5. Вычислить характеристический многочлен матрицы

Решение. В соответствии с определением характеристического многочлена получаем:

Если воспользоваться формулой (5.10), то сначала найдем

а затем запишем

О методах вычисления характеристического многочлена см. в приложении, помещенном в конце книги.

Теорема 5.7. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

> Если матрицы А и В подобные, то для некоторой невырожденной матрицы Q выполняется равенство В = Q~ l AQ. Следовательно,

В произвольный многочлен

вместо переменной Л можно подставить квадратную матрицу А порядка п. В результате получим матрицу Р(А) = во А п + а А п ~ 1 --

Н----+ a n _ 1 А + а п Е , которую называют значением многочлена Р(Л)

при Л = А. Если для данной матрицы А верно равенство Р{А) = О (значением многочлена Р(А) при Л = А является нулевая матрица), то А называют матричным, корнем многочлена Р(А), а сам многочлен Р(А) - многочленом, аннулируемым матрицей А.

Теорема 5.8. Всякая квадратная матрица является корнем некоторого ненулевого многочлена.

> Множество всех квадратных матриц порядка п с элементами из поля Р есть линейное пространство над Р размерности п 2 . В этом линейном пространстве любая система, в которой не менее п 2 +1 элементов, является линейно зависимой. Следовательно, система А п , А п -1 , ..., А , Е из п 2 + 1 матриц линейно зависима, т.е. существует такой набор чисел ао, от, ..., а п 2 , одновременно не обращающихся в нуль, что выполняется равенство

Это равенство означает, что матрица А является корнем многочлена

Доказанная теорема на самом деле вытекает из следующего утверждения.

Теорема 5.9 (теорема Гамильтона - Кэли).

Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Прежде чем доказывать эту теорему, введем понятие X-матрицы - матрицы, элементами которой являются многочлены от переменной А. Любую A-матрицу можно представить как многочлен переменной А, коэффициентами которого являются квадратные матрицы соответствующего порядка. Например,

> Пусть А - квадратная матрица n-го порядка. Рассмотрим присоединенную матрицу С к матрице А - Е. Её элементами являются алгебраические дополнения элементов определителя | А - Е |, представляющие собой многочлены от Л степени не выше п- 1. Как отмечено выше, матрицу С можно представить в виде

где Ci, С2, ..., С п - некоторые числовые матрицы. По основному свойству присоединенной матрицы (см. разд. З.С, следствие 3.2) имеем:

В этом равенстве заменим матрицу С суммой (5.11), а характеристический многочлен - суммой (5.10). Тогда получим равенство

Раскрывая скобки в обеих частях равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим систему из п + 1 равенства:

Умножим первое равенство системы на А п, второе - на Л п_1 и т.д., п-е равенство - на А, (п + 1)-е равенство - на А° = Е :

При сложении этих равенств в левой части получим нулевую матрицу, а в правой части - выражение

Поэтому f{A) = 0. ?

5.6. Характеристический и минимальный многочлен

Многочлен 92(A) минимальной степени, имеющий старший коэффициент, равный единице, и аннулируемый матрицей А, называют минимальным многочленом этой матрицы.

Теорема 5 . 10 . Любой многочлен, аннулируемый матрицей А, нацело делится на минимальный многочлен этой матрицы. В частности, характеристический многочлен матрицы делится на её минимальный многочлен.

О Разделим многочлен Р{ Л) на минимальный многочлен 9?(Л) с остатком: Р{ А) = 99(A) g(A) + г(А), где многочлен г(А) имеет степень меньше степени 92(A). Заменив переменную А матрицей А, получим:

Так как Р(А) = р(А) = 0 , то и г (А) = 0 . Но это равенство возможно только в том случае, когда многочлен г (А) нулевой. Иначе возникает противоречие с определением минимального многочлена. Равенство г = 0 означает, что многочлен Р(А) нацело делится на 92(A). ?

Следствие 5 .1 . Любой корень минимального многочлена матрицы является корнем ее характеристического многочлена.

О Как установлено при доказательстве теоремы, характеристический многочлен /(А) связан с минимальным многочленом 92(A) равенством /(А) = 99(A) q{). Из этого равенства вытекает утверждение следствия. ?

Отметим еще несколько полезных фактов (см. [7 ], с. 100 ).

Характеристический многочлен | А - ХЕ матрицы Л и ее минимальный многочлен 92(A) связаны соотношением

где D n - 1 - наибольший общий делитель всех миноров матрицы А - А Е, имеющих (п - 1 )-й порядок.

Корнями минимального многочлена 92(A) являются все различные корни характеристического многочлена |А - А Е причем если

где 1 ^ п к ^ т к: к = 1,2

Формула (5.12) позволяет находить минимальный многочлен матрицы. О другом способе построения минимального многочлена матрицы сказано ниже (см. разд. 6.5).

Пример 5.6. Найти минимальный многочлен матрицы

Решение. В предыдущих примерах для матрицы А найден характеристический многочлен А - Е = - А 3 + 2 Л 2 + Л - 2. Общий наибольший делитель D 2 всех миноров второго порядка матрицы

равен единице, так как ее миноры

взаимно простые. Поэтому

Пример 5.7. Найти характеристические и минимальные многочлены матриц

Р е ш е н и е. Для матрицы А непосредственным вычислением определителя находим характеристический многочлен

Выпишем все миноры второго порядка матрицы А - А Е:

Общий наибольший делитель D 2 всех этих миноров есть Л - 4. Поэтому минимальный многочлен матрицы А имеет вид:

Заметим, что D 2 можно найти иначе. Действительно, если в матрицу А - Е подставить Л = 4, то получим матрицу

ранга г - 1. Следовательно, все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю. Это означает, что все миноры второго порядка матрицы А - Л Е делятся на Л - 4, причем все эти миноры не могут делиться на большую степень двучлена Л - 4, так как, например, минор

делится лишь на первую степень этого двучлена. Следовательно, в?>2 входит множитель Л -4 в первой степени. Другие множители из | А - Л?^1 в?>2 не входят, так как на них не делится, например, выписанный только что минор второго порядка. Поэтому Дг = А - 4.

Для матрицы А 2 также непосредственным вычислением определителя находим характеристический многочлен

миноры второго порядка

взаимно простые. Поэтому D 2 = 1 и

Рассмотренный пример показывает, что разные матрицы могут иметь одинаковые характеристические, но разные минимальные многочлены.

Учитывая, что матрицы данного линейного оператора в разных базисах подобны и имеют один и тот же характеристический многочлен, логично этот многочлен назвать характеристическим многочленом линейного оператора, а его корни - характеристическими корнями линейного оператора.

Заметим также, что транспонированная матрица А Т имеет одинаковые с матрицей А характеристические многочлены и характеристические числа.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть А – линейный оператор из . Число называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор такой, что А . При этом вектор называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению . Множество всех собственных значений линейного оператора А называется егоспектром .

Определителем линейного оператора А detА называется detА , где А – матрица линейного оператора А в любом базисе. Многочлен относительно l называется характеристическим многочленом оператора А. Он не зависит от выбора базиса.

Уравнение

называется характеристическим (или вековым ) уравнением оператора А.

Для того чтобы число l было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (7.7) оператора А.

Для тождественного оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным единице). Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю). Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего n линейно независимых векторов.

Теорема 7.2 . Для того чтобы матрица А линейного оператора А в базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.

Однако далеко не каждый линейный оператор в n -мерном векторном пространстве имеет n линейно независимых собственных векторов. Базис из собственных векторов принято называть «собственным базисом». Пусть собственные значения линейного оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы. Следовательно, «собственный базис» в этом случае существует.

Итак, если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица А оператора А имеет диагональный вид.

При отыскании собственных векторов линейного преобразования следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя, т.е. если некоторый вектор - собственный вектор, то и вектор - собственный. Таким образом, фактически определяется собственное направление или собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании.

Характеристический полином

определяется для произвольной квадратной матрицы как 1) , где –единичная матрица одинакового с порядка.

Пример. Для :

Теорема.

Образно говоря, коэффициент при получается суммированием всех миноров -го порядка матрицы , построенных на элементах ее главной диагонали.

Определение

Связанные определения

Свойства

Ссылки

В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра . - Ивановский государственный энергетический университет.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Характеристическая кривая задания
Харальд III (король Норвегии)

Смотреть что такое "Характеристический многочлен матрицы" в других словарях:

Характеристический многочлен - В математике характеристический многочлен может означать: характеристический многочлен матрицы характеристический многочлен линейной рекуррентной последовательности характеристический многочлен обыкновенного дифференциального уравнения.… … Википедия

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН - матрицы над полем К многочлен над полем К Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b1 равен следу матрицы.(b1 = tr A = a11+ а 22+ .. . +а пп), коэффициент b т равен сумме всех главных миноров т гопорядка, в частности bn=detA … Математическая энциклопедия

Минимальный многочлен матрицы - У этого термина существуют и другие значения, см. Минимальный многочлен. Минимальный многочлен матрицы аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени. Свойства Минимальный многочлен делит характеристический многочлен матрицы… … Википедия

Лямбда-матрицы - Основная статья: Функции от матриц Лямбда матрица (λ матрица, матрица многочленов) квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом … Википедия

СПЕКТР МАТРИЦЫ - совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы … Математическая энциклопедия

Характеристическое число матрицы - Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Подобные матрицы - Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что: Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных… … Википедия

Характеристическая матрица

Характеристическое уравнение - Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Теорема Гамильтона - Теорема Гамильтона Кэли известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если … Википедия