Аксонометрические проекции. Разница между изометрией и аксонометрией Выполнить чертеж в аксонометрической проекции диметрия

6.1. Общие положения

Комплексные (технические) чертежи строят по методу прямоугольного проецирования на плоскости проекций, при этом количество изображений предмета на этих чертежах должно быть наименьшим, но полностью раскрывающим его форму и размеры. Такие чертежи обратимы, удобоизмеримы, но недостаточно наглядны, так как пространственный образ предмета в сознании очень часто приходится воспроизводить по нескольким его изображениям. Поэтому возникла необходимость в чертежах, которые были бы наглядны, но при этом обратимы и давали общее представление об относительных размерах и форме предмета.

Аксонометрической проекцией называют наглядное изображение предмета, полученное параллельным проецированием его на одну аксонометрическую плоскость проекций П вместе с осями пространственной системы координат Oxyz , к которой он отнесен (предмет отнесен к системе координат, если известна его проекция на одну из координатных плоскостей.). Проекцию предме-

та на плоскость П называют аксонометрической (аксонометрией) ;

проекции координатных осей - соответствующими аксонометрическими осями (их упрощенно обозначают x, y, z вместо x, y, z); отношение длины аксонометрической проекции отрезка, параллельного координатной оси, к натуральной длине отрезка - показателем искажения по соответствующей аксонометрической оси. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости П , то аксонометрию называют прямоугольной , а если нет, то косоугольной.

Для построения наглядных технических изображений ГОСТ 2.317-69* рекомендует стандартные аксонометрии, обладающие хорошей наглядностью.

6.2. Прямоугольная изометрическая проекция (изометрия)

Этот вид аксонометрии получается при одинаковом наклоне всех координатных плоскостей, связанных с предметом, к аксонометрической плоскости проекций. Поэтому в изометрии коэффициенты искажения по осям x, y и z одинаковы (они равны 0,82), а аксонометрические оси образуют между собой углы по 120О (рис. 6.1). Их можно построить с помощью циркуля или угольников с

Диметрия получается при одинаковом наклоне к аксонометрической плоскости координатных плоскостей xOy и yOz, поэтому показатели искажения по осям x и z одинаковы и равны 0,94, а по оси y - 0,47. Используя на практике приведенные показатели искажения (по 1 для осей x и z и 0,5 для оси y), диметрию выполняют в масштабе увели-

чения 1,06:1.

При построении аксонометрических осей (рис. 6.2) ось

z проводят вертикально, а для

пирамидальной форм, а также для предметов удлиненной формы, у которых длина значительно превышает ширину и высоту, направляя длину параллельно оси х или z. В этом случае длина не подвергается сильному искажению и не теряется представление о форме предмета и соотношении его основных размеров.

6.4. Вычерчивание окружностей в аксонометрии

Окружность, лежащая в координатной плоскости или плоскости, ей параллельной, проецируется в прямоугольной аксонометрии в эллипс, большая ось которого перпендикулярна “свободной” аксонометрической оси, а малая ей параллельна. Свободная аксонометрическая ось - проекция координатной оси, перпендикулярной плоскости окружности (например, для окружности, плоскость которой параллельна плоскости yOz, “свободной” осью является ось х).

Построение по приведенным показателям искажения эллипсов, в которые проецируются окружности, плоскости которых параллельны координатным, приведено для стандартных изометрии и диметрии на рис. 6.1 и 6.2 соответственно.

Большие оси этих эллипсов в изометрии равны 1,22d, а малые - 0,71d (d - диаметр окружности). Эллипсы в изометрии (рис. 6.1) строят по большим и малым осям (4 точки) и точкам на диаметрах, параллельных координатным осям (еще 4 точки).

В диметрии большие оси эллипсов равны 1,06d, а малые оси равны 0,35d для окружностей, лежащих в плоскостях xOy и yOz и им параллельным, и 0,94d для окружностей, расположенных в плоскости xOz и плоскостях ей параллельных. Для построения эллипсов в диметрии используют 8 точек, аналогичных точкам, по которым вычерчивают эллипс в изометрии (рис. 6.2). Чтобы точнее построить эллипсы, в которые проецируются окружности, параллельные плоскостям xOy и yOz, используют дополнительные точки, получаемые благодаря симметрии точек эллипсов относительно больших и малых осей.

На рис. 6.1 и 6.2 около осей эллипсов и их диаметров указаны приведенные показатели искажения по этим направлениям.

Аксонометрические проекции окружностей (дуг) большого радиуса, окружностей, не лежащих в плоскостях, параллельных координатным, и кривых линий строят по аксонометрическим проекциям их точек.

6.5. Примеры аксонометрических проекций различных предметов

Аксонометрию предмета обычно строят по его техническому чертежу, на котором могут быть указаны проекции осей пространственной системы координат Oxyz, к которой отнесен предмет.

Построение аксонометрии начинают с проведения аксонометрических осей.

Аксонометрические проекции фигур строят по аксонометрическим проекциям их характерных точек. Аксонометрические проекции точек строят по координатам этих точек с учетом показателей искажения по аксонометрическим осям.

Аксонометрические проекции отрезков строят по аксонометрическим проекциям двух их точек. Аксонометрические проекции параллельных прямых параллельны. При этом аксонометрические проекции прямых, параллельных координатным осям, параллельны соответствующим аксонометрическим осям и имеют такие же показатели искажения.

На рис. 6.3а, 6.4а и 6.5а представлены технические чертежи параллелепипеда, полусферы и конуса вращения соответственно, на рис. 6.3б и 6.4б приведены изометрии двух первых фигур, а на рис. 6.5б - диметрия третьей.

A 1 E 1

à) z 2

à) z 2

á) z

x

Очерком сферы при прямоугольном проецировании всегда является окружность радиусом, равным радиусу сферы R. При использовании приведенных показателей искажения радиус очерка сферы в изометрии увеличивают до 1,22R, а в диметрии - до 1.06R.

При построении аксонометрии предмета стремятся по возможности координатную плоскость xOy совместить с плоскостью основания предмета, а координатные оси - с его ребрами или осями симметрии.

На рис. 6.6а и 6.7а приведены комплексные чертежи предметов, а на рис. 6.6в и 6.7б соответственно изометрические проекции этих предметов с вырезом одной четверти.

Вырез на изображениях, выполненных в аксонометрии, необходим так же, как и разрезы на технических чертежах, для выявления скрытых внутренних форм предмета.

Разрезы в аксонометрии можно построить двумя способами. Первый способ заключается в построении полного изображения

предмета в тонких линиях с последующим нанесением контуров сечений, образуемых каждой секущей плоскостью выреза, и удалением изображения отсеченной части предмета (рис. 6.6б).

По второму способу сначала строят контуры сечений предмета секущими плоскостями (на рис. 6.6б показаны основными линиями), а затем выполняют изображение остальной части предмета.

В аксонометрии , как правило, не применяют полные разрезы, при которых пропадает хотя бы одно из трех главных измерений предмета (длина, ширина, высота). В противном случае аксонометрия была бы лишена своего главного преимущества - наглядности.

Для определения направления штриховки в разрезах на аксонометрических осях откладывают произвольный отрезок b, а в диметрии на оси y - половину этого отрезка. Прямые, соединяющие концы отрезков, задают направление штриховки для соответствующих плоскостей (рис. 6.1 и 6.2).

Если секущая плоскость проходит через ребра жесткости, сплошные выступы или тонкие стенки, то сечения этих элементов деталей всегда заштриховывают. В аксонометрии не производят поворот в плоскость разреза отверстий, расположенных на круглых фланцах или дисках (рис. 6.6).

В аксонометрии допускается не показывать мелкие конструктивные элементы предмета (фаски, скругления и т.п.). Линии плавного перехода одной поверхности в другую показывают условно тонкими линиями (рис. 6.7б).

Отображать различные геометрические предметы с помощью чертежей и посредством компьютерной графики можно с применением принципов изометрии и аксонометрии. В чем специфика каждого из них?

Что представляет собой аксонометрия?

Под аксонометрией или аксонометрической проекцией понимается способ графического отображения тех или иных геометрических предметов посредством параллельных проекций.

Аксонометрия

Геометрический предмет в данном случае чаще всего рисуется с использованием определенной системы координат - так, чтобы та плоскость, на которую он проецируется, не соответствовала положению плоскости других координат соответствующей системы. Получается, что предмет отображается в пространстве посредством 2 проекций и выглядит объемно.

При этом по той причине, что плоскость отображения предмета не расположена строго параллельно какой-либо из осей системы координат, отдельные элементы соответствующего отображения могут искажаться - по одному из 3 следующих принципов.

Во-первых, искажение элементов отображения предметов может наблюдаться по всем 3 осям, используемым в системе, в равной величине. В этом случае фиксируется изометрическая проекция предмета, или изометрия.

Во-вторых, искажение элементов может наблюдаться только по 2 осям в равной величине. В этом случае наблюдается диметрическая проекция.

В-третьих, искажение элементов может фиксироваться как различающееся по всем 3 осям. В этом случае наблюдается триметрическая проекция.

Рассмотрим, таким образом, специфику первого типа искажений, формируемых в рамках аксонометрии.

Что представляет собой изометрия?

Итак, изометрия - это разновидность аксонометрии, которая наблюдается при прорисовке предмета в случае, если искажение его элементов по всем 3 осям координат одинаковое.

Рассматриваемый вид аксонометрической проекции активно применяется в промышленном проектировании. Он позволяет хорошо просматривать те или иные детали в рамках чертежа. Распространено использование изометрии и при разработке компьютерных игр: с помощью соответствующего типа проекции становится возможным эффективно отображать трехмерные картинки.

Можно отметить, что в сфере современных промышленных разработок под изометрией в общем случае понимается прямоугольная проекция. Но иногда она может быть представлена и в косоугольной разновидности.

Сравнение

Главное отличие изометрии от аксонометрии заключается в том, что первый термин соответствует проекции, являющейся только лишь одной из разновидностей той, которая обозначается вторым термином. Изометрическая проекция, таким образом, существенно отличается от других разновидностей аксонометрии - диметрии и триметрии.

Отобразим более наглядно то, в чем разница между изометрией и аксонометрией, в небольшой таблице.

Аксонометрическими (Аксонометрия в переводе с греческого языка («ахоп» — ось; «metreo» — измеряю) означает осемерное изображение.) проекциями называют изображения, полученные путем проектирования параллельными лучами фигуры (предмета) вместе с осями координат на произвольно расположенную плоскость, которую называют «аксонометрической» (или картинной). Обычно плоскость (или предмет) располагают так, чтобы на аксонометрической проекции предмета были видны три стороны: верхняя (или нижняя), передняя и левая (или правая).
Основным достоинством аксонометрических проекций является наглядность и представление о величине изображенного предмета, поэтому их применяют в качестве иллюстрации к чертежу для облегчения понимания конструктивной формы предмета. На (фиг.270) показано получение аксонометрической проекции детали.

На аксонометрических проекциях приняты следующие обозначения: аксонометрическая плоскость обозначается П" ; аксонометрические оси координат - х", у", z" ; аксонометрические проекции точек A, В и т.д. обозначаются А", В" и т.д. Начало координат обозначается О" .
2. Виды аксонометрических проекций.
В зависимости от направления проектирующих лучей аксонометрические проекции разделяются на: прямоугольные или ортогональные (проектирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости П" ) и косоугольные (проектирующие лучи наклонены к аксонометрической плоскости).
В зависимости от наклона осей координат к аксонометрической плоскости, а следовательно, от степени уменьшения размеров аксонометрических проекций отрезков, имеющих направление осей координат (Известно, что отрезок прямой, наклоненный к плоскости, проектируется на нее уменьшенным; чем больше будет угол наклона, тем меньших размеров будет проекция отрезка.) , - все аксонометрические проекции делятся на три основных вида:
1) изометрические , т.е. одинакового измерения (оси z", х" и у" наклонены одинаково; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей одинаковое);
2) диметрические , т. е. двойного измерения (две оси координат имеют один и тот же наклон, а третья - другой; следовательно, уменьшение размеров по этим двум осям будет одно и то же, а по третьей оси - другое);
3) триметрические , т.е. тройного измерения (все оси имеют разный наклон; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей разное).
В машиностроительном черчении из прямоугольных аксонометрических проекций чаще всего применяют изометрическую и диметриче-скую, а из косоугольных - диметрическую, которую иначе называют фронтальной диметрической проекцией.
В изометрической проекции углы между аксонометрическими осями х" , у" и z" одинаковы (по 120°); ось z" расположена вертикально; следовательно, оси х" и у" наклонены к горизонтальной линии на угол 30° (фиг.271,а).

При таком положении осей показатели искажения для всех осей одинаковы и равны 0,82 .
Показателем искажения называют отношение размера аксонометрической проекции отрезка, имеющего направление какой-либо оси координат, к его действительному размеру. Например, при действительном размере 100 мм и показателе искажения 0,82 размер аксонометрической проекции равен 100 × 0,82 = 82 мм .
В диметрической проекции угол между аксонометрическими осями z" и х" равен 97°10" , а углы между аксонометрическими осями х" и у" , а также z" и у" одинаковы, т.е. по 131°25" . Аксонометрическая ось z" имеет вертикальное положение, следовательно, ось х" наклонена к горизонтальной линии на угол 7°10" а ось у" на угол 41° 25" (фиг.271,б).
При таком наклоне аксонометрических осей показатель искажения для осей z" и х" равен 0,94, а для оси у" - 0,47 .
Во фронтальной диметрической проекции угол между аксонометрическими осями z" и х" равен 90° , а углы между аксонометрическими осями х" и у" , а также между аксонометрическими осями z" и y" одинаковы, т. е. по 135° . Ось z" имеет вертикальное положение, следовательно, ось х" будет иметь горизонтальное положение, а ось у" наклонена к горизонтальной линии на угол 45° (фиг.271,в).
Показатели искажения по аксонометрическим осям х" и z" равны 1,0 а по оси у" - 0,5 .
Такую фронтальную диметрическую проекцию называют кабинетной; ее рекомендуется применять тогда, когда хотят показать без изменения очертания фигур, расположенных в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций.
Для сравнения изображений, выполненных в аксонометрических проекциях, на (фиг.272) показаны различные аксонометрические проекции одного и того же куба.

Для упрощения вычисления показателей искажения ГОСТ 3453-59 рекомендует строить изометрическую проекцию без сокращения по аксонометрическим осям x" , у" и z" , а диметрическую проекцию без сокращения по аксонометрическим осям х" и y" , и с сокращением 0,5 по аксонометрической оси у" . В этом случае изображение получается несколько увеличенным, но наглядность его не ухудшается.

Для тoгo чтобы получить аксонометрическую проекцию пред­мета (рис. 106), необходимо мысленно: поместить предмет в сис­тему координат; выбрать аксонометрическую плоскость проекций и расположить предмет перед ней; выбрать направление парал­лельных проецирующих лучей, которое не должно совпадать ни с одной из аксонометрических осей; направить проецирующие лучи через все точки предмета и координатные оси до пересечения с аксонометрической плоскостью проекций, получив тем самым изображение проецируемого предмета и координатных осей.

На аксонометрической плоскости проекций получают изобра­жение - аксонометрическую проекцию предмета, а также про­екции осей систем координат, которые называют аксонометриче­скими осями.

Аксонометрической проекцией называется изображение, по­лученное на аксонометрической плоскости в результате парал­лельного проецирования предмета вместе с системой координат, которое наглядно отображает его форму.

Система координат состоит из трех взаимно пересекающихся плоскостей, которые имеют фиксированную точку - начало координат (точку О) и три оси (X, У, Z), исходящие из нее и расположенные под прямым углом друг к другу. Сис­тема координат позволяет производить измерения по осям, определяя положение предметов в пространстве.

Рис. 106. Получение аксонометрической (прямоугольной изометрической) проекции

Можно получить множество аксонометрических проекций, по- разному располагая предмет перед плоскостью и выбирая при этом различное направление проецирующих лучей (рис. 107).

Наиболее употребляемой является так называемая прямо­угольная изометрическая проекция (в дальнейшем будем использовать ее сокращенное название - изометрическая проек­ция). Изометрической проекцией (см. рис. 107, а) называется та­кая проекция, у которой коэффициенты искажения по всем трем осям равны, а углы между аксонометрическими осями составляют 120°. Изометрическая проекция получается с помощью па­раллельного проецирования.

Рис. 107. Аксонометрические проекции, установленные ГОСТ 2.317-69:
а - прямоугольная изометрическая проекция; б - прямоугольная диметрическая проекция;
в - косоугольная фронтальная изометриче­ская проекция;
г - косоугольная фронтальная диметрическая проекция

Рис. 107. Продолжение: д - косоугольная горизонтальная изометриче­ская проекция

При этом проецирующие лучи пер­пендикулярны аксонометрической плоскости проекций, а коор­динатные оси одинаково наклонены к аксонометрической плоско­сти проекций (cм. рис. 106). Если сравнить линейные размеры предмета и соответствующие им размеры аксонометрического изображения, то можно увидеть, что на изображении эти размеры меньше, чем действительные. Величины, показывающие отноше­ние размеров проекций отрезков прямых к действительным их размерам, называют коэффициентами искажения. Коэффициен­ты искажения (К) по осям изометрической проекции одинаковы и равны 0,82, однако для удобства построения используют так называемые практические коэффициенты искажения, которые равны единице (рис. 108).

Рис. 108. Положение осей и коэффициенты искажения изометрической проекции

Существуют изометрические, диметрические и триметрические проекции. К изометрическим проекциям относятся такие проекции, которые имеют одинаковые коэффициенты искажения по всем трем осям. Диметрическими проекциями называются такие проекции, у которых два коэффициента искажения по осям одинаковые, а величина третьего отличается от них. К триметрическим проекциям относятся проекции, у которых все коэффици­енты искажения различны.

Инструкция

Постройте с помощью линейки и транспортира или циркуля и линейки для прямоугольной (отрогональной) изометрической проекции. В этой разновидности аксонометрической проекции все три оси - OX, OY, OZ - между собой углы в 120°, при этом ось ОZ имеет вертикальную направленность.

Для простоты чертите изометрическую проекцию без искажений по осям, так как принято изометрический коэффициент искажения приравнивать к единице. Кстати, само «изометрический» в переводе «равный размер». На самом деле при отображении трехмерного объекта на плоскость отношение длины любого спроецированного отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине этого отрезка равно для всех трех осей 0,82. Поэтому линейные размеры предмета в изометрии (при принятом коэффициенте искажения) увеличиваются в 1,22 раза. При этом изображение остается правильным.

Начните проецировать предмет на аксонометрическую плоскость с его верхней грани. Отмерьте по оси OZ от центра пересечения осей координат высоту детали. Проведите тонкими линиями оси Х и Y через эту точку. Из этой же точки отложите половину отрезка длины детали по одной оси (например, по оси Y). Проведите через найденную точку отрезок нужного размера (ширина детали) параллельно другой оси (OX).

Теперь вдоль другой оси (OX) отложите половину ширины. Через эту точку проведите отрезок нужной величины (длина детали) параллельно первой оси (OY). Два начерченных отрезка должны пересечься. Достройте оставшуюся часть верхней грани.

Если в этой грани имеется круглое отверстие, начертите его. В изометрии окружность изображается в виде эллипса, потому что мы смотрим на нее под углом. Размеры осей этого эллипса рассчитайте исходя из диаметра окружности. Они равны: a = 1,22D и b = 0,71D. Если окружность располагается на горизонтальной плоскости, ось а эллипса всегда горизонтальная, ось b - вертикальная. При этом расстояние между точками эллипса на оси Х или Y всегда равно диаметру окружности D.

Начертите из трех углов верхней грани вертикальные ребра, равные высоте детали. Соедините ребра через их нижние точки.

Если у фигуры есть прямоугольное отверстие, начертите его. Отложите из центра ребра верхней грани вертикальный (параллельно оси Z) отрезок нужной длины. Через полученную точку начертите отрезок требуемого размера параллельно верхней грани, а значит и оси X. Из крайних точек этого отрезка начертите вертикальные ребра нужной величины. Соедините их нижние точки. Проведите от нижней правой точки нарисованного ромба внутреннее ребро отверстия, которое должно быть параллельно оси Y.