В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.
Таким образом, сам смысл термина «отношение » был несколько иной, чем термина «деление »: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление » и «отношение » по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п. При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах .
ПРИМЕР
В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?
400 – общее число товара
Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.
200: 400 = 0,5 или 50%
В математике делимым принято называть предыдущий член отношения , а делителем – последующий член отношения . В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.
Два равных отношения образуют пропорцию
В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения . К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:
1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
200: 400 = 0,5 или 50%
2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов
300: 600 = 0,5 или 50%
В данном случае имеется пропорция , которую можно записать следующим образом:
| = |
Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции , а четыреста и триста – средними членами пропорции .
Произведение средних членов пропорции
Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:
Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;
200 × 600 = 120 000
Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.
300 × 400 = 120 000
Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.
Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции , то:
Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.
| 200 = |
Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.
Тест 13-16 "Отношение и пропорции".
Предлагаемые тесты предназначены для проверки знаний и умений учащихся по разделу курса математики шестого класса «Отношение и пропорции» . Посредством представленных тестов проверяется усвоение учебного материала следующих тем: «Отношения», «Пропорции», «прямая и обратная пропорциональные зависимости», «Масштаб», «Длина окружности и площадь круга», «Шар» . Данная подборка тестов может быть использована в системе классно-урочного изучения обозначенного раздела или в домашних условиях - при самостоятельном или дистанционном обучении с целью проведения самоконтроля.
Прохождение теста ограничено по времени - десять минут. По окончании данного временного промежутка тест заканчивает свою работу и предлагает перейти в окно результатов. Для удобства ориентации во времени, справа вверху есть таймер с обратным отсчетом времени. Данная тестовая программа предусматривает удобную навигацию между вопросами, а также возможно внесение изменений в ранее выбранный или записанный ответ. Тесты представлены в двух равноценных вариантах, каждый из которых содержит в себе семь вопросов, сформулированных в виде заданий разной уровни сложности. Первые четыре вопроса оцениваются в один балл и предусматривают выбор одного правильного ответа из четырех предложенных. Задачи под номерами пять и шесть относятся к среднему уровню сложности и оцениваются в два балла каждая. Последнее, седьмое, задание соответствует высокому уровню сложности и за правильное решение тестируемый получает три балла.
После окончания тестирования выводится окно результатов с набранными баллами. Предусмотрен также просмотр подробностей оценивания, а, при необходимости, можно вернуться к заданиям теста с последующим анализом правильных и выбранных (записанных) ответов.
Сделаем короткий анализ предлагаемых тестов.
Первый и второй тесты выполняют проверку знаний и умений по теме«Отношения» . Проходя задания первого теста, учащемуся необходимо уметь записывать отношение двух чисел, определять, какую часть одно число составляет относительно другого (во сколько раз одно число больше другого), находить, сколько процентов одно число составляет от другого, записывать по заданному отношению обратное отношение. Особый интерес представляет седьмое задание. Здесь в условии дано, чему равны заданное количество процентов от процентов числа и необходимо найти, чему равно это число.
Задания второго теста хоть и относятся к той же теме, что и задания первого теста, но в основе их уже лежит не проверка основных теоретических и практических знаний и умений по данной теме, а направлены на применение отношений для решения задач. Первый вопрос содержит графический рисунок, на котором изображены два отрезка. Учащемуся следует определить отношение длин данных отрезков. Во втором задании заданы две величины в разных единицах измерения и необходимо найти их отношение. Задание под номером три предлагает определить процентное отношение двух заданных чисел. А в четвертом по заданному отношению (записанному в виде смешанного числа) нужно найти обратное отношение. Пятый вопрос содержит задачу, в которой необходимо определить, какую долю в процентном отношении составляет одно число от другого. В задаче, которая находится в шестом задании, нужно найти, какую часть одно число составляет относительно другого. В седьмом вопросе условие задачи содержит отношение двух чисел и нужно найти отношение большего числа к сумме двух задействованных в отношении чисел.
Третий тест предназначен для проведения контроля по темам«Пропорции» и «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» . Для успешного прохождения теста учащемуся понадобятся знания членов пропорции (какие члены пропорции являются крайними, а какие - средними), по заданной записи пропорциональной зависимости находить неизвестный член пропорции, уметь составлять пропорциональные зависимости (и решать их) для решения задач.
В четвертом тесте задания проверяют знание и умение работать с пропорциями, а также по темам «Длина окружности и площадь круга» и«Масштаб» . В первых двух вопросах необходимо решить пропорцию. Далее предлагается найти длину окружности заданного радиуса. После чего по известному радиусу нужно вычислить площадь круга. Пятое и шестое задания по своей сути противоположны друг другу. В пятом по известному масштабу следует определить, какое будет расстояние на карте (на местности), если известно данное расстояние на местности (на карте). Шестое задание, наоборот, по известным соответствующим расстояниям на карте и местности предлагает найти масштаб карты. При ответе на седьмой вопрос понадобятся логическое мышление и внимание. Нужно определить, сколько четных (кратных 5) двузначных чисел можно составить из четырех заданных цифр.
в упражнениях, задачах и тестах
г. Железногорск
санаторно-лесная школа
§ 1 Обыкновенные дроби (повторение).
п. 1. сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
п. 2. Совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями.
§ 2 Отношения и пропорции
п. 3. отношения.
п. 4. Пропорции. Основное свойство пропорции.
п. 6. Обратная пропорциональность величин.
§ 3 Положительные и отрицательные числа
п. 7. Координатная прямая.
п. 8. Положительные числа. Модуль числа.
п. 9. Сравнение чисел.
п. 10. Сложение рациональных чисел.
п. 11. Сложение чисел с разными знаками.
п. 12. Законы сложения рациональных чисел.
п. 13. Вычитание.
п. 14. Расстояние между точками.
п. 15. Умножение рациональных чисел.
п. 16. Деление.
п. 17. Свойства действий с рациональными числами.
§ 4 Решений уравнений
п. 18. Раскрытие скобок.
п. 19. Приведение подобных слагаемых.
п. 20. Решение уравнений.
§ 5 Решение задач
п. 21. Задачи.
п. 22. Повторение.
Глава I . Обыкновенные дроби (повторение).
§ 1 сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Конспект
1. Сравнение дробей.
а) если одинаковые знаменатели: та дробь > у которой больше числитель?
https://pandia.ru/text/78/170/images/image003_13.png" align="left" width="43" height="41 src=">
в) если разные числители и знаменатели: приводи к общему знаменателю.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image005_9.png" align="left" width="41" height="41 src=">.png" align="left" width="47" height="41 src=">.png" align="left" width="40" height="41 src=">.png" align="left" width="47" height="41 src=">.png" align="left" width="57" height="41 src=">.png" align="left" width="67" height="41 src=">.png" align="left" width="33" height="41 src=">.png" align="left" width="36" height="41 src=">г)
3. Вычисли:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image021_0.png" align="left" width="79" height="41 src=">.png" align="left" width="65" height="41 src=">а)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image025_0.png" align="left" width="89" height="41 src=">.png" align="left" width="65" height="41 src=">.png" align="left" width="65" height="41 src=">.png" align="left" width="75" height="41 src=">.png" align="left" width="73" height="41 src=">
с амостоятельная работа
4. Выбери правильный ответ.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image035_0.png" align="left" width="100" height="45 src=">а) б)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image037_0.png" align="left" width="92" height="45 src=">в) г)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image039.png" align="left" width="15" height="41 src=">.png" align="left" width="16" height="41 src=">.png" align="left" width="143" height="48 src=">Ответ вырази в минутах.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image045.png" align="left" width="49" height="23 src=">в) Утренний надой молока составил 81/2 л, вечерний – 63/10 л, а в обед надой молока был на 3/5 л меньше, чем утром. Каков надой молока за день?
6. Сравни дроби и сделай вывод.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image047.png" align="left" width="52" height="41 src=">.png" align="left" width="39" height="41 src=">.png" align="left" width="51" height="41 src=">б)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image053.png" align="left" width="45" height="41 src=">.png" align="left" width="21" height="41 src=">.png" align="left" width="21" height="41 src=">
8. Расположи в порядке убывания.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image059.png" align="left" width="16" height="41 src=">.png" align="left" width="91" height="41 src=">.png" align="left" width="73" height="41 src=">а)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image065.png" align="left" width="67" height="41 src=">.png" align="left" width="100" height="45 src=">.png" align="left" width="115" height="41 src=">в г)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image071.png" align="left" width="25" height="41 src=">.png" align="left" width="33" height="41 src=">.png" align="left" width="107" height="41 src=">
Png" align="left" height="17 src=">.png" align="left" width="16" height="41 src=">.png" align="left" height="17 src=">.png" align="left" height="17 src=">.png" align="left" width="15" height="41 src=">.png" align="left" width="21" height="41 src=">.png" align="left" width="15" height="41 src=">а) б)
Png" align="left" width="16" height="41 src=">.png" align="left" height="17 src=">
Png" align="left" height="17 src=">2). Сумма дробей равна:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image081.png" align="left" width="68" height="41 src=">
3). Значение выражения равна:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image082.png" align="left" width="57" height="41 src=">
4). Сложи дроби:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image084.png" align="left" width="57" height="41 src=">
5). Вычисли:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image085.png" align="left" width="99" height="45 src=">6). Выполни действия:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image086.png" align="left" width="72" height="41 src=">.png" align="left" width="44" height="41 src=">.png" align="left" width="85" height="41 src=">.png" align="left" width="140" height="41 src=">.png" align="left" width="81" height="41 src=">Примеры: а) б) в)
(сократима на 2) (дробь не сократима) (сократима на 25)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image096.png" align="left" width="59" height="41 src=">.png" align="left" width="51" height="41 src=">а)
, т. к. у знаменателя делитель 5 и, 2: 5 = 0,4
https://pandia.ru/text/78/170/images/image100.png" align="left" width="31" height="41 src=">в)
- нельзя перевести в десятичную, т. к. знаменатель не имеет делителей 2 и 5
13. Найди дроби, которые можно записать в виде десятичных и расшифруй слово.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image102.png" align="left" width="29" height="69 src=">.png" align="left" width="27" height="69 src=">.png" align="left" width="28" height="69 src=">.png" align="left" width="28" height="69 src=">.png" align="left" width="24" height="69 src=">
14. Обрати обыкновенную дробь в десятичную.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image112.png" align="left" width="32" height="41 src=">.png" align="left" width="20" height="41 src=">.png" align="left" width="21" height="41 src=">.png" align="left" width="55" height="41 src=">.png" align="left" width="55" height="41 src=">.png" align="left" width="49" height="41 src=">.png" align="left" width="61" height="41 src=">.png" align="left" width="147" height="45 src=">.png" align="left" width="100" height="41 src=">а) б) в)
1). Вычисли:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image130.png" align="left" width="55" height="41 src=">.png" align="left" width="55" height="41 src=">а) б) в) г)
2). Найди значение выражения:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image134.png" align="left" width="81" height="41 src=">а) б)
20. Найди значение дробей.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image136.png" align="left" width="35" height="44 src=">.png" align="left" width="28" height="44 src=">а) б) в) г)
21. Самостоятельная работа (проверь себя).
Найди значение:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image143.png" align="left" width="33" height="44 src=">.png" align="left" width="21" height="41 src=">.png" align="left" width="83" height="41 src=">.png" align="left" width="21" height="41 src=">.png" align="left" width="25" height="41 src=">
1). а) б) в) г)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image153.png" align="left" width="32" height="41 src=">.png" align="left" width="32" height="41 src=">.png" align="left" width="31" height="41 src=">.png" align="left" width="21" height="41 src=">.png" align="left" width="32" height="41 src=">
4). а) б) в) г)
23. Выполни действия.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image163.png" align="left" width="199" height="45 src=">
https://pandia.ru/text/78/170/images/image165.png" align="left" width="135" height="83 src=">
з адачи на нахождение дроби от числа.
Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.
24. Найди дробь от числа.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image167.png" align="left" width="83" height="45 src=">.png" align="left" width="73" height="45 src=">.png" align="left" width="80" height="45 src=">
https://pandia.ru/text/78/170/images/image173.png" align="left" width="97" height="45 src=">
https://pandia.ru/text/78/170/images/image175.png" align="left" width="92" height="45 src=">.png" align="left" width="100" height="45 src=">.png" align="left" width="181" height="45 src=">.png" align="left" width="177" height="45 src=">
https://pandia.ru/text/78/170/images/image183.png" align="left" width="185" height="45 src=">.png" align="left" width="193" height="45 src=">.png" align="left" width="183" height="45 src=">
33. Скосили 3/7 луга. Найди площадь луга, если скосили 21 га.
34. В первый час машина прошла 5/7 всего пути. Каков весь путь, если в первый час машина прошла 70 км.
35. Было отремонтировано 2/7 всех станков цеха. Сколько станков в цехе, если отремонтировали 28 станков?
36. Отремонтировали 5/6 дороги, что составляет 30 км. Какова длина всей дороги?
37. В первый час машина прошла 27% намеченного пути, после чего ей осталось пройти еще 146 км. Сколько километров составляет длина намеченного пути?
38. Продали 32% овощей, после чего осталось продать еще 136 т. Сколько тонн овощей было в магазине?
39. Было прочитано 29% всей книги, после чего осталось прочитать еще 142 страницы. Сколько страниц в книге?
40. Контрольная работа № 1.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image189.png" align="left" width="209" height="45 src=">
2). Сравни
41. Поле площадью 120 га было засажено картофелем, капустой и морковью. 3/4 это поле было засажено картофелем, 80% остатка засажено капустой, а остальное поле – морковью. Сколько га было сажено морковью?
42. Контрольная работа № 2.
1). Найди значение выражения:
https://pandia.ru/text/78/170/images/image191.png" align="left" width="39" height="44 src=">.png" align="left" width="205" height="45 src=">.png" align="left" width="64" height="41 src=">.png" align="left" width="63" height="41 src=">.png" align="left" width="16" height="41 src=">2).
а) если а > b , то показывает, во сколько раз а > b
Png" align="left" width="16" height="41 src=">
б) если а < b , то показывает, какую часть составляет а от b
https://pandia.ru/text/78/170/images/image202.png" align="left" width="391" height="45 src=">
https://pandia.ru/text/78/170/images/image204.png" align="left" width="191" height="45 src=">.png" align="left" width="193" height="45 src=">
43. Что показывают отношения.
https://pandia.ru/text/78/170/images/image208.png" align="left" width="351" height="45 src=">
44. На клумбе 6 белых и 12 красных роз. Что показывают отношения:
а) 6: 12; б) 12: 6; в) 6: 18; г) 18: 12 ?
45. Упрости отношения (т. е. сократи дроби).
https://pandia.ru/text/78/170/images/image210.png" align="left" width="60" height="44 src=">.png" align="left" width="29" height="41 src=">
а) 4: 5; б) в) г) 77: 28; д)
https://pandia.ru/text/78/170/images/image214.png" align="left" width="53" height="41 src=">
47. Сад занимает 5,6 а, а огород 3,2 а. Во сколько раз площадь сада больше площади огорода? Какую часть всего участка занимает огород?
48. Сержа 5,6 км прошел пешком и 12,6 км проехал на автобусе. Во сколько раз путь, проделанный пешком, меньше пути на автобусе? Какую часть всего пути Сережа проехал на автобусе?
49. В бригаде 25 человек, из них 20 мужчин. Сколько процентов всех людей в бригаде составляют мужчины?
50. из 32 учащихся класса по болезни отсутствовали 4 ученика. Сколько процентов учащихся присутствовали?
51. Вместо плановых 75 деталей рабочий изготовил 80 деталей. На сколько процентов выполнен план?
52. Для определения всхожести семян посадили 300 семян. Из них проросло 273. каков процент всхожести семян?
53. Самостоятельная работа.
а) Купили овощей на 2,6 рублей и фруктов на 9,1 рублей. Во сколько раз больше заплатили за фрукты, чем за овощи? Какую часть всей покупки составили овощи?
б) Длина всей дороги 360 км. Заасфальтировали 240 км. этой дороги. Какая часть дороги заасфальтирована? Во сколько раз вся дорога длиннее ее заасфальтированной части?
в) Из 250 семян взошло 200. найди процент всхожести.
§ 4 П ропорции. Основное свойство пропорции.
Конспект
1. Отношение = отношению
https://pandia.ru/text/78/170/images/image216.png" align="left" width="27" height="34 src=">.png" align="left" width="46" height="3 src="> пропорция
a : b = c : d или
https://pandia.ru/text/78/170/images/image219.png" align="left" width="139" height="41 src="> 3.
