Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
- расширение и углубление представлений учащихся о задачах, решаемых с использованием арифметической прогрессии; организация поисковой деятельности учащихся при выводе формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;
- развитие умений самостоятельно приобретать новые знания, использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
- выработка желания и потребности обобщать полученные факты, развитие самостоятельности.
Задачи:
- обобщить и систематизировать имеющиеся знания по теме “Арифметическая прогрессия”;
- вывести формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии;
- научить применять полученные формулы при решении различных задач;
- обратить внимание учащихся на порядок действий при нахождении значения числового выражения.
Оборудование:
- карточки с заданиями для работы в группах и парах;
- оценочный лист;
- презентация “Арифметическая прогрессия”.
I. Актуализация опорных знаний.
1. Самостоятельная работа в парах.
1-й вариант:
Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия. Приветите пример арифметической прогрессии и укажите её разность.
2-й вариант:
Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Найдите 100-й член
арифметической прогрессии {a n
}: 2, 5, 8 …
В это время два ученика на обратной стороне доски готовят ответы на эти же
вопросы.
Учащиеся оценивают работу партнера, сверяя с доской. (Листочки с ответами
сдают).
2. Игровой момент.
Задание 1.
Учитель. Я задумала некоторую арифметическую прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы после ответов вы быстро смогли бы назвать 7-й член этой прогрессии. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Вопросы учащихся.
- Чему равен шестой член прогрессии и чему равна разность?
- Чему равен восьмой член прогрессии и чему равна разность?
Если вопросов больше не последует, то учитель может стимулировать их – “запрет” на d (разность), то есть не разрешается спрашивать чему равна разность. Можно задать вопросы: чему равен 6-й член прогрессии и чему равен 8-й член прогрессии?
Задание 2.
На доске записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Учитель стоит спиной к доске. Ученики называют номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Объясните, как мне это удается?
Учитель помнит формулу n-го члена a n = 3n – 2 и, подставляя задаваемые значения n, находит соответствующие значения a n .
II. Постановка учебной задачи.
Предлагаю решить старинную задачу, относящуюся ко II-му тысячелетию до нашей эры, найденную в египетских папирусах.
Задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность между каждым человеком и его соседом равняется 1/8 меры”.
- Как эта задача связана с темой арифметическая прогрессия? (Каждый следующий получает на 1/8 меры больше, значит разность d=1/8, 10 человек, значит n=10.)
- А что, по-вашему мнению, означает число 10 мер? (Сумма всех членов прогрессии.)
- Что ещё необходимо знать, чтобы было легко и просто разделить ячмень согласно условию задачи? (Первый член прогрессии.)
Задача урока – получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа, первого члена и разности, и проверка того, верно ли в древности решали поставленную задачу.
Прежде чем сделать вывод формулы, посмотрим, как решали задачу древние египтяне.
А решали её следующим образом:
1) 10 мер: 10 = 1 мера – средняя доля;
2) 1 мера ∙ = 2 меры – удвоенная средняя
доля.
Удвоенная средняя
доля – это сумма долей 5-го и 6-го человек.
3) 2 меры – 1/8 меры = 1 7/8 меры – удвоенная доля пятого человека.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – доля пятого; и так далее можно найти долю каждого
предыдущего и последующего человека.
Получим последовательность:
III. Решение поставленной задачи.
1. Работа в группах
I-я группа: Найти сумму 20 последовательных натуральных чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.
В общем виде
II-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 (Легенда о маленьком Гауссе).
S 100 = (1+100)∙50 = 5050
Вывод:
III-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 21.
Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Вывод:
IV-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 101.
Вывод:
Этот метод решения рассмотренных задач называется “Метод Гаусса”.
2. Каждая группа представляет решение задачи на доске.
3. Обобщение предложенных решений для произвольной арифметической прогрессии:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 ,
a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 +
a n-2 + a n-1 + a n .
Найдем эту сумму рассуждая аналогично:
4. Решили мы поставленную задачу? (Да.)
IV. Первичное осмысление и применение полученных формул при решении задач.
1. Проверка решения старинной задачи по формуле.
2. Применение формулы при решении различных задач.
3. Упражнения на формирование умения применения формулы при решении задач.
А) №613
Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …, 1500
Найти: S 1500
Решение:
, а 1
= 1, а 1500 = 1500,
Б) Дано: (а n) –
арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210
Найти: n
Решение:
V. Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Денис поступил на работу курьером. В первый месяц его зарплата составила 200 рублей, в каждый последующий она повышалась на 30 рублей. Сколько всего он заработал за год?
Дано: (а n) –
арифметическая прогрессия;
а 1 = 200, d=30, n=12
Найти: S 12
Решение:
Ответ: 4380 рублей получил Денис за год.
VI. Инструктаж по домашнему заданию.
- п. 4.3 – выучить вывод формулы .
- №№ 585, 623 .
- Составить задачу, которая решалась бы с использованием формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.
VII. Подведение итогов урока.
1. Оценочный лист
2. Продолжи предложения
- Сегодня на уроке я узнал …
- Изученные формулы …
- Я считаю что …
3. Сможешь ли ты найти сумму чисел от 1 до 500? Каким методом будешь решать эту задачу?
Список литературы.
1. Алгебра, 9-й класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: “Просвещение”, 2009.
Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.
Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».
И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».
Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.
Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.
Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.
Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:
an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.
Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:
- Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
- Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.
Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).
В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:
К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177
Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.
Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:
Sn = (a1+an) n/2.
Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:
Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.
Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.
Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
Русский ученый, механик Н.Е. Жуковский
Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения.
Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы , связанные с этим понятием.
Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии.
Для арифметической прогрессии справедливы формулы
, (1)
где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .
Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической».
Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:
(3)
Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула
(5) где и .
Если принять во внимание формулу (1 ), то из формулы (5) вытекает
Если обозначить , то
где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6).
В частности , из формулы (5) следует , что
К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы.
Теорема. Если , то
Доказательство. Если , то
Теорема доказана.
Например , используя теорему , можно показать , что
Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия».
Пример 1. Пусть и . Найти .
Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или .
Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и .
Решение. Из условия примера вытекает система уравнений
Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем
Решением данной системы уравнений являются и .
Пример 3. Найти , если и .
Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем .
Так как и , то из равенства вытекает уравнение или .
Пример 4. Найти , если .
Решение. По формуле (5) имеем
Однако, используя теорему, можно записать
Отсюда и из формулы (11) получаем .
Пример 5 . Дано: . Найти .
Решение. Так как , то . Однако , поэтому .
Пример 6. Пусть , и . Найти .
Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или .
Так как и , то здесь имеем систему уравнений
Решая которую, получаем и .
Натуральным корнем уравнения является .
Пример 7. Найти , если и .
Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений
Если подставить выражение во второе уравнение системы , то получим или .
Корнями квадратного уравнения являются и .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть , тогда . Поскольку и , то .
В таком случае, согласно формуле (6), имеем
2. Если , то , и
Ответ: и .
Пример 8. Известно, что и . Найти .
Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и .
Отсюда следует система уравнений
Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим
Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или .
Поскольку и , то .
Ответ: .
Пример 9. Найти , если и .
Решение. Поскольку , и по условию , то или .
Из формулы (5) известно , что . Так как , то .
Следовательно , здесь имеем систему линейных уравнений
Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем .
Пример 10. Решить уравнение .
Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае .
Согласно формуле (1), можно записать или .
Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень .
Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и .
Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии.
Воспользуемся формулой (1) и тем фактом , что и . Тогда получим , что или .
Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число , поэтому .
Если значения , и подставить в формулу (6), то получим .
Ответ: .
Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Нетрудно установить , что . Очевидно , что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и .
Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим .
Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.
3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
В математике любая организованная каким-либо способом совокупность чисел, которые следуют друг за другом, называется последовательностью. Из всех существующих последовательностей чисел выделяют два интересных случая: прогрессии алгебраическую и геометрическую.
Что представляет собой арифметическая прогрессия?
Сразу следует сказать, что алгебраическую прогрессию часто называют арифметической, поскольку ее свойства изучает ветвь математики - арифметика.
Эта прогрессия представляет собой такую последовательность чисел, в которой каждый следующий ее член отличается от предыдущего на некоторое постоянное число. Оно называется разностью алгебраической прогрессии. Для определенности обозначим его латинской буквой d.
Примером такой последовательности может быть следующая: 3, 5, 7, 9, 11 ..., здесь видно, что число 5 больше числа 3 на 2, 7 больше 5 тоже на 2, и так далее. Таким образом, в представленном примере d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Какие бывают арифметические прогрессии?
Характер этих упорядоченных последовательностей чисел во многом определяется знаком числа d. Выделяют следующие виды алгебраических прогрессий:
- возрастающая, когда d положительное (d>0);
- постоянная, когда d = 0;
- убывающая, когда d отрицательное (d<0).
В примере, который приведен в предыдущем пункте, показана возрастающая прогрессия. Примером убывающей является следующая последовательность чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Постоянная прогрессия, как следует из ее определения, представляет собой совокупность одинаковых чисел.
n-й член прогрессии
Благодаря тому, что каждое последующее число в рассматриваемой прогрессии отличается на константу d от предыдущего, можно легко определить n-й ее член. Для этого нужно знать не только d, но и a 1 - первый член прогрессии. Применяя рекурсивный подход, можно получить формулу алгебраической прогрессии для нахождения n-го члена. Она имеет вид: a n = a 1 + (n-1)*d. Это формула является достаточно простой, и понять ее можно на интуитивном уровне.
Также не представляет никакой сложности ее использование. Например, в прогрессии, которая приведена выше (d=2, a 1 =3), определим 35-й ее член. Согласно формуле, он будет равен: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Формула для суммы
Когда дана некоторая арифметическая прогрессия, то сумма ее первых n членов является часто возникающей задачей, наряду с определением значения n-го члена. Формула суммы алгебраической прогрессии записывается в следующем виде: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, здесь значок ∑ n 1 говорит о том, что суммируются с 1-го по n-й член.
Приведенное выражение можно получить, прибегая к свойствам все той же рекурсии, однако существует более легкий способ доказательства его справедливости. Запишем первые 2 и последние 2 члена этой суммы, выразив их в числах a 1 , a n и d, и получим: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n . Теперь заметим, что если сложить первый член с последним, то он будет точно равен сумме второго и предпоследнего члена, то есть a 1 +a n . Аналогичным способом можно показать, что эту же сумму можно получить, если сложить третий и предпредпоследний члены, и так далее. В случае парного количества чисел в последовательности получаем n/2 сумм, каждая из которых равна a 1 +a n . То есть получаем вышеприведенную формулу алгебраической прогрессии для суммы: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Для непарного количества членов n получается аналогичная формула, если следовать описанным рассуждениям. Только нужно не забыть добавить оставшееся слагаемое, которое находится в центре прогрессии.
Покажем, как пользоваться приведенной формулой на примере простой прогрессии, которая была введена выше (3, 5, 7, 9, 11 ...). Например, необходимо определить сумму первых 15 ее членов. Для начала определим a 15 . Воспользовавшись формулой для n-го члена (см. предыдущий пункт), получаем: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Теперь можно применить формулу суммы алгебраической прогрессии: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Любопытно привести интересный исторический факт. Формулу для суммы арифметической прогрессии впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик XVIII века). Когда ему было всего 10 лет, то учитель задал задачу, найти сумму чисел от 1 до 100. Говорят, что маленький Гаусс решил эту задачу за несколько секунд, заметив, что попарно суммируя числа с начала и конца последовательности, всегда можно получить 101, а поскольку таких сумм 50, то он быстро выдал ответ: 50*101 = 5050.
Пример решения задачи
В качестве завершения темы алгебраической прогрессии приведем пример решения еще одной любопытной задачи, закрепив тем самым понимание рассматриваемой темы. Пусть дана некоторая прогрессия, для которой известна разность d = -3, а также ее 35-й член a 35 = -114. Необходимо найти 7-й член прогрессии a 7 .
Как видно из условия задачи, значение a 1 является неизвестным, поэтому напрямую формулой для n-го члена воспользоваться не получится. Также является неудобным способ рекурсии, который в ручную тяжело реализовать, и велика вероятность допустить ошибку. Поступим следующим образом: выпишем формулы для a 7 и a 35 , имеем: a 7 = a 1 + 6*d и a 35 = a 1 + 34*d. Вычтем из первого выражения второе, получим: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Откуда следует: a 7 = a 35 - 28*d. Осталось подставить известные данные из условия задачи и записать ответ: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Геометрическая прогрессия
Чтобы раскрыть тему статьи полнее, приведем краткое описание еще одного вида прогрессии - геометрической. В математике под этим названием понимают последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на некоторый множитель. Обозначим этот множитель буквой r. Он называется знаменателем рассматриваемого вида прогрессии. Примером этой последовательности чисел может быть следующая: 1, 5, 25, 125, ...
Как видно из приведенного определения, алгебраическая и геометрическая прогрессии схожи по своей идее. Отличие между ними заключается в том, что первая изменяется медленнее, чем вторая.
Геометрическая прогрессия также может быть возрастающей, постоянной и убывающей. Ее тип зависит от значения знаменателя r: если r>1, то имеет место возрастающая прогрессия, если r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Формулы геометрической прогрессии
Как и в случае алгебраической, формулы геометрической прогрессии сводятся к определению ее n-го члена и суммы n слагаемых. Ниже приведены эти выражения:
- a n = a 1 *r (n-1) - эта формула следует из определения геометрической прогрессии.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Важно отметить, если r = 1, то приведенная формула дает неопределенность, поэтому ей пользоваться нельзя. В этом случае сумма n членов будет равна простому произведению a 1 *n.
Например, найдем сумму всего 10 членов последовательности 1, 5, 25, 125, ... Зная, что a 1 = 1 и r = 5, получаем: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1)/4 = 2441406. Полученное значение является наглядным примером того, насколько быстро растет геометрическая прогрессия.
Пожалуй, первым упоминанием об этой прогрессии в истории является легенда с шахматной доской, когда друг одного султана, обучив его игре в шахматы, попросил за свою услугу зерно. Причем количество зерна должно было быть следующим: на первую клетку шахматной доски необходимо положить одно зерно, на вторую в два раза больше, чем на первую, на третью в 2 раза больше, чем на вторую и так далее. Султан охотно согласился выполнить эту просьбу, но он не знал, что ему придется опустошить все закрома своей страны, чтобы сдержать данное слово.
